Theoretische Grundlagen der Informatik – 2. Tutorium¶

• Tutorium 7
• Moritz Klammler
• Wintersemester 2014/15
• 4. November 2014

Organisatorisches¶

Konntet Ihr der ILIAS-Gruppe beitreten?

Link zur Gruppe bzw Beitrittslink auf meiner Webseite. Dort findet Ihr auch die Unterlagen zum Tutorium.

http://klammler.eu/teaching.html#tgi-ws1415

Tagesthemen¶

• Reguläre Ausdrücke (Praxisbeispiel)
• Pumping-Lemma für reguläre Sprachen
• Nerode-Relation
• Äquivalenz von endlichen Akzeptoren
• Nicht deterministische endliche Akzeptoren in äquivalente deterministische überführen (Potenzmengenkonstruktion)
• Minimierung von deterministischen endlichen Akzeptoren

Reguläre Ausdrücke (Praxisbeispiel)¶

In XML (HTML) können Zeichen als Entity References codiert werden. Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten:

• Character Entity Reference (Named Entities) zB ö → ö, …

• Numeric Character Entity Reference

  • dezimal zB A → A, …
  • hexadezimal zB 
 → \n, …

Welcher reguläre Ausdruck matcht alle Entity References (und sonst nichts)?

Abwandlung: Die Entities für <, >, und & sollen nicht gematcht werden.

Pumping-Lemma für reguläre Sprachen¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^* eine reguläre Sprache.

Dann existiert ein n \in \mathbb{N} sodass für alle w \in L mit |w| \geq n gilt: es existieren x, y, z \in \Sigma^*, sodass

1. w = xyz,
2. y \neq \epsilon,
3. |xy| \leq n und
4. \forall i \in \mathbb{N}_0 : xy^iz \in L.

Verallgemeinertes Pumping-Lemma für reguläre Sprachen¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^* eine reguläre Sprache.

Dann existiert ein n \in \mathbb{N} sodass für alle w \in L mit |w| \geq n gilt:
für alle Zerlegungen pw's = w mit |w'| = n gilt:
es existieren x, y, z \in \Sigma^*, sodass

1. w' = xyz,
2. y \neq \epsilon,
3. |xy| \leq n (trivial) und
4. \forall i \in \mathbb{N}_0 : pxy^izs \in L.

Nerode-Relation¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^* eine Sprache. Die zugehörige Nerode-Relation R_L ist wie folgt definiert:

Seien u, v \in \Sigma^*. Dann ist (u, v) \in R_L genau dann wenn für alle x \in \Sigma^* gilt: ux \in L \Leftrightarrow vx \in L.

Für w \in \Sigma^* bildet [w] = \{ x \in \Sigma^* : (w, x) \in R_L \} eine Äquivalenzklasse.

Der Index von R_L ist die Kardinalität der Menge ihrer Äquivalenzklassen.

Satz von Myhill-Nerode¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^* eine Sprache. L ist genau dann regulär, wenn der Index der zugehörigen Nerode-Relation R_L endlich ist.

Potenzmengenkonstruktion¶

Gegeben ein nichtdeterministischer \epsilon-freier Automat \mathcal{A} = (Q, \Sigma, \delta, s, F). Konstruiere \tilde{\mathcal{A}} = (\tilde{Q}, \Sigma, \tilde{\delta}, \tilde{s}, \tilde{F}) mit:

• \tilde{Q} \subseteq 2^Q
• \tilde{\delta}(\tilde{q}, a) = \{ q'' \in Q : \exists q' \in \tilde{q} : ((q', a), q'') \in \delta \}
• \tilde{s} = s
• \tilde{F} = \{ \tilde{q} \in \tilde{Q} : \tilde{q} \cap F \neq \emptyset \}

\tilde{\mathcal{A}} ist deterministisch.

Minimierung von endlichen Akzeptoren¶

Gegeben ein deterministischer \epsilon-freier Automat \mathcal{A} = (Q, \Sigma, \delta, s, F). Konstruiere Äquivalenzklassenautomat \tilde{\mathcal{A}} = (\tilde{Q}, \Sigma, \tilde{\delta}, \tilde{s}, \tilde{F}) mit:

• \tilde{Q} = \{ [q] : q \in Q \}
• \tilde{s} = [s]
• \tilde{F} = \{ [q] \in \tilde{Q} : q \in F \}
• \tilde{\delta}([q], a) = [\delta(q, a)]

\tilde{\mathcal{A}} ist minimal.