Aufgabe 1 (Formale Sprachen)
Aufgabe 4 (Komplment und Spiegelung)
Aufgabe 5 (\epsilon-Übergänge)
Überprüft Eure Ergebnisse (Sanity-Check).
\strong{Bitte legt besonderen Wert auf korrekte Beweisführung.}
Jede Menge von n=1 Pferden enthält nur Pferde derselben Farbe.
Für ein beliebiges aber festes n \in \mathbb{N} gelte, dass jede Menge M von Pferden mit |M| \leq n nur Pferde derselben Farbe enthält.
Sei nun eine beliebige aber feste Menge von Pferden M' = \{ p_1, p_2, p_3, \dots, p_{n+1} \} mit |M'| = n + 1 gegeben.
Partitioniere M' in X = \{ p_1, p_2, \dots, p_n \} und Y = \{ p_2, p_3, \dots, p_{n+1} \}.
Da |X| = |Y| = n, gilt nach Voraussetzung, dass sowohl X als auch Y jeweils nur Pferde derselben Farbe enthalten. Also color(p_i) = C_X für i = 1, 2, \dots, n und color(p_i) = C_Y für i = 2, 3, \dots, n + 1.
Da es aber ein Pferd p gibt, sodass p \in X \land p \in Y, muss C_X = C_Y gelten. Also haben auch alle Pferde in M' dieselbe Farbe.
Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^*. Eine Turingmachine M entscheidet L genau dann wenn M für jedes w \in \Sigma^* nach endlich vielen Schritten hält und genau dann akzeptiert wenn w \in L.
Falls eine solche Machine existiert, heißt L entscheidbar.
Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^*. Eine Turingmachine M akzeptiert L genau dann wenn M für jedes w \in L nach endlich vielen Schritten hält und genau dann akzeptiert wenn w \in L.
Falls eine solche Machine existiert, heißt L semi-entscheidbar.
Sei \Sigma ein Alphabet. Eine Funktion f : \Sigma^* \to \Sigma^* heißt (Turing-)brechenbar genau dann wenn es eine Turingmaschine gibt, diefür jede Eingabe w \in \Sigma^* nach endlich vielen Schritten hält und die Eingabe mit f(w) überschreibt.
Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^*. Die Charakteristische Funktion \chi_L von L ist definiert als
\chi_L : \Sigma^* \to \{0, 1 \} w \mapsto \begin{cases} 0, w \notin L 1, w \in L \end{cases}
Die Sprache HALT enthält alle (geeignet codierten) Tupel (\langle M \rangle, w) sodass die Turingmaschine M mit Gödelnummer \langle M \rangle bei Eingabe w nach endlich vielen Schritten hält (akzeptiert oder ablehnt).
HALT ist semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar.
Die Diagonalsprache L_D enthält die Gödelnummern aller Turingmaschinen, die ihre eigene Gödelnummer als Eingabe ablehnen.
L_D ist nicht semi-entscheidbar (und erst recht nicht entscheidbar).