Theoretische Grundlagen der Informatik – 4. Tutorium¶

• Tutorium 7
• Moritz Klammler
• Wintersemester 2014/15
• 18. November 2014

Anmerkungen zum 1. Übungsblatt¶

• Aufgabe 1 (Formale Sprachen)

  • Quotientensprache (L_1 / L_2)
  • \emptyset \neq \{ \epsilon \}

• Aufgabe 4 (Komplment und Spiegelung)

  • Vorsicht beim Einfügen von \epsilon-Übergängen!

• Aufgabe 5 (\epsilon-Übergänge)

  • Niemand hatte diese Aufgabe richtig.
  • q_i \stackrel{a}{\rightarrow} q_j über \epsilon^* a \epsilon^*

• Überprüft Eure Ergebnisse (Sanity-Check).

• \strong{Bitte legt besonderen Wert auf korrekte Beweisführung.}

Alle Pferde haben dieselbe Farbe¶

1. Jede Menge von n=1 Pferden enthält nur Pferde derselben Farbe.

2. Für ein beliebiges aber festes n \in \mathbb{N} gelte, dass jede Menge M von Pferden mit |M| \leq n nur Pferde derselben Farbe enthält.

3. Sei nun eine beliebige aber feste Menge von Pferden M' = \{ p_1, p_2, p_3, \dots, p_{n+1} \} mit |M'| = n + 1 gegeben.

   Partitioniere M' in X = \{ p_1, p_2, \dots, p_n \} und Y = \{ p_2, p_3, \dots, p_{n+1} \}.

   Da |X| = |Y| = n, gilt nach Voraussetzung, dass sowohl X als auch Y jeweils nur Pferde derselben Farbe enthalten. Also color(p_i) = C_X für i = 1, 2, \dots, n und color(p_i) = C_Y für i = 2, 3, \dots, n + 1.

   Da es aber ein Pferd p gibt, sodass p \in X \land p \in Y, muss C_X = C_Y gelten. Also haben auch alle Pferde in M' dieselbe Farbe.

Tagesthemen¶

• Gödelisierung
• Universelle Turingmaschine(n)
• Entscheidbarkeit
  • Entscheidbarkeit
  • Semi-Entscheidbarkeit
  • Berechenbarkeit
• Halteproblem

Entscheidbarkeit¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^*. Eine Turingmachine M entscheidet L genau dann wenn M für jedes w \in \Sigma^* nach endlich vielen Schritten hält und genau dann akzeptiert wenn w \in L.

Falls eine solche Machine existiert, heißt L entscheidbar.

Semi-Entscheidbarkeit¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^*. Eine Turingmachine M akzeptiert L genau dann wenn M für jedes w \in L nach endlich vielen Schritten hält und genau dann akzeptiert wenn w \in L.

Falls eine solche Machine existiert, heißt L semi-entscheidbar.

Berechenbarkeit¶

Sei \Sigma ein Alphabet. Eine Funktion f : \Sigma^* \to \Sigma^* heißt (Turing-)brechenbar genau dann wenn es eine Turingmaschine gibt, diefür jede Eingabe w \in \Sigma^* nach endlich vielen Schritten hält und die Eingabe mit f(w) überschreibt.

Charakteristische Funktion¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^*. Die Charakteristische Funktion \chi_L von L ist definiert als

\chi_L : \Sigma^* \to      \{0, 1 \}
         w        \mapsto  \begin{cases}
                             0, w \notin L
                             1, w \in L
                           \end{cases}

Halteproblem¶

Die Sprache HALT enthält alle (geeignet codierten) Tupel (\langle M \rangle, w) sodass die Turingmaschine M mit Gödelnummer \langle M \rangle bei Eingabe w nach endlich vielen Schritten hält (akzeptiert oder ablehnt).

HALT ist semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar.

Diagonalsprache¶

Die Diagonalsprache L_D enthält die Gödelnummern aller Turingmaschinen, die ihre eigene Gödelnummer als Eingabe ablehnen.

L_D ist nicht semi-entscheidbar (und erst recht nicht entscheidbar).