Sei \Sigma ein Alphabet und B \subseteq \Sigma^* (semi-)entscheidbar, sowie A \subseteq \Sigma^*.
Wenn es eine berechenbare Funktion f: \Sigma^* \to \Sigma^* gibt, sodass für alle w \in \Sigma^* gilt w \in A \Leftrightarrow f(w) \in B dann ist auch A (semi-)entscheidbar.
Man schreibt diesfalls A \leq_m B.
Sei R die Menge aller Turing-berechenbaren Funktionen und S \subset R eine nicht-triviale Teilmenge (\emptyset \neq S \neq R) hiervon. Dann ist die Menge
L(S) = \{ \langle M \rangle : M berechnet ein f \in S \}
nicht entscheidbar.
Die Sprache VIRUS enthalte alle Prpgramme, die bei leerer Eingabe die
Ausgabe I LOVE YOU
produzieren.
VIRUS := \{ \langle M \rangle : M(\epsilon) = "I LOVE YOU" \}
Zeigen Sie: VIRUS ist nicht entscheidbar.
Motivation: Fixen Sie folgendes Java-Programm.
/**
* Computes the mean of two integers.
*
* The result is rounded towards zero.
*
* @param n1
* the first number
*
* @param n2
* the second number
*
* @returns
* floor((n1 + n2) / 2)
*
*/
int mean(int n1, int n2) {
// FIXME: This can overflow.
return (n1 + n2) / 2;
}
Die Sprache EQUIV enthalte alle Programmdupel, die bei identischer Eingabe dieselbe Ausgabe produzieren.
EQUIV := \{ (\langle M_1 \rangle, \langle M_2 \rangle) : \forall w \in \Sigma^*: M_1(w) = M_2(w) \}
Zeigen Sie: EQUIV ist nicht entscheidbar.
Sei \Pi ein Problem und \Sigma ein Alphabet. Ein Kodierungsschema ist eine Abbildung
s: \Pi \to \Sigma^*
I \mapsto \langle I \rangle
die jeder Instanz I des Problems eine Kodierung \langle I \rangle zuordnet.
Die Größe einer Probleminstanz I im Kodierungsschema s ist die Länge der Codierung |s(I)|.
Ein Suchproblem ist eine Frage nach einer Lösung.
Beispiel: Finde einen Spannbaum mit einem Gewicht von höchstens 42 für diesen Graphen.
Ein Optimierungsproblem ist eine Frage nach einer (in einem gewissen Sinne) optimalen Lösung.
Beispiel: Finde einen Spannbaum minimalen Gewichts für diesen Graphen.
Ein Optimalwertproblem ist eine Frage nach dem Wert einer (in einem gewissen Sinne) optimalen Lösung.
Beispiel: Welches Gewicht hat ein minimaler Spannbaum für diesen Graphen?
Ein Entscheidungsproblem ist eine binäre Frage.
Beispiel: Existiert für diesen Graphen einen Spannbaum mit einem Gewicht von höchstens 42?
Sei \Pi ein Entscheiodungsproblem, \Sigma ein Alphabet und s: \Pi \to \Sigma^* ein Kodierungsschema.
Die Sprache L[\Pi, s] enthält alle in s kodierten Ja-Instanzen von \Pi.
Seien \Sigma und \Gamma Alphabete, L \subseteq \Sigma^* und V eine Zweiband-Turingmaschine mit Eingabealphabeten \Sigma und \Gamma.
V ist ein Verifizierer für L genau dann wenn für alle w \in \Sigma^* gilt
w \in L \Leftrightarrow \exists c \in \Gamma^*: V akzeptiert (w,c)
Ein solches c heißt Zeuge (oder Zertifikat) für w.
947 \times 653
ist ein Zeuge
für 618391 \in COMPOSITE.
Die Klasse \mathcal{P} enthält alle Sprachen, für die es einen deterministischen Entscheider (Turingmaschine) gibt, der für alle Worte der Länge n nach höchstens p(n) Berechnungsschritten hält, für ein festes Polynom p: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0.
Die Klasse \mathcal{NP} enthält alle Sprachen, für die es einen deterministischen Verifizierer (bzw einen nichtdeterministischen Entscheider) gibt, der für alle Worte der Länge n nach höchstens p(n) Berechnungsschritten hält, für ein festes Polynom p: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0.