Theoretische Grundlagen der Informatik – 6. Tutorium¶

• Tutorium 7
• Moritz Klammler
• Wintersemester 2014/15
• 2. Dezember 2014

Anmerkungen zum 2. Übungsblatt¶

• Aufgaben 1 & 2 (Automatenkonstruktion)

  • Es gab vor allem Flüchtigkeitsfehler.
  • Könnt ihr die Algorithmen in Software implementieren?

• Aufgaben 3 & 4 (Nerode-Relation)

  • Die Lösungen waren idR sehr gut.

• Aufgaben 5 & 6 (Turingmaschinen)

  • Bitte ignoriert Aufgabe 5.

Ergebnisse der Umfrage¶

Es wurden insgesamt 8 Fragbögen abgegeben.

Wie empfindest Du das Tutorium?¶

• 0 × Ich lerne wenig, weil ich unterfordert bin und mich häufig langweile.
• 1 × Ich lerne etwas, langweile mich aber gelegentlich.
• 5 × Ich lerne viel. Das Niveau passt für mich.
• 2 × Ich lerne etwas, aber es fällt mir gelegentlich schwer zu folgen.
• 0 × Ich lerne wenig, weil ich überfordert bin und häufig nicht folgen kann.

Wie häufig sollten die folgenden Dinge im Tutorium eingesetzt werden?¶

Wie häufig besuchst Du folgende Veranstaltungen aus TGI?¶

Was studierst Du?¶

• 6 × Informatik
• 1 ×Informationswirtschaft
• 1 × Mathematik

Was wolltest Du außerdem noch anmerken?¶

• Die VL zieht sich sehr in die Länge, das Tutorium fasst alles in gutem Tempo zusammen.
• Programmieren finde ich nicht so interessant, aber sonst eine gute Zusammenstellung von Beispielen.

Tagesthemen¶

• Polynomielle Transformation
• \mathcal{NP}-Vollständigkeit
• Satz von Cook

BEVOR WIR HIER WEITERMACHEN, BESPRECHEN WIR NOCH DIE EIN PAAR DINGE VOM LETZTEN MAL.

Many-to-One-Reduzierbarkeit¶

Sei \Sigma ein Alphabet und B \subseteq \Sigma^* (semi-)entscheidbar, sowie A \subseteq \Sigma^*.

Wenn es eine berechenbare Funktion f: \Sigma^* \to \Sigma^* gibt, sodass für alle w \in \Sigma^* gilt

w \in A \Leftrightarrow f(w) \in B

dann ist auch A (semi-)entscheidbar.

Man schreibt diesfalls A \leq_m B.

Polynomielle Transformation¶

Sei \Sigma ein Alphabet und B \subseteq \Sigma^* in Polynomialzit entscheidbar, sowie A \subseteq \Sigma^*.

Wenn es eine in Polynomialzit berechenbare Funktion f: \Sigma^* \to_p \Sigma^* gibt, sodass für alle w \in \Sigma^* gilt

w \in A \Leftrightarrow f(w) \in B

dann ist auch A in Polynomialzit entscheidbar.

Man schreibt diesfalls A \leq_p B oder A \propto B.

\mathcal{NP}-Vollständigkeit¶

Eine Sprache L ist \mathcal{NP}-vollständig genau dann wenn

• L \in \mathcal{NP}
• \forall L' \in \mathcal{NP}: L' \leq_p L

Die Menge aller \mathcal{NP}-vollständigen Sprachen heißt \mathcal{NPC}.

Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT)¶

Gegeben eine Variablenmenge \{v_1, \dots, v_n\} für n \in \mathbb{N} und eine Klauselmenge \{c_1, \dots, c_m\} für m \in \mathbb{N} aus Disjunktionen von (potentiell negierten) Variablen.

Existiert eine Wahrheitsbelegung der Variablen, sodass alle Klauseln erfüllt werden?

Falls jede Klausel eine Disjunktion aus genau 3 (potentiell negierten) Variablen ist, spricht man von 3-SAT.

c_1 \land \c_2 \land \dots \land c_m = (v_1 \lor v_2 \lor \lnot v_3) \land (\lnot v_2 \lor v_4 \land v_5) \land \dots \land (v_3 \lor \lnot v_n \lor v_1)

Satz von Cook¶

\text{3-SAT} \in \mathcal{NPC}

Korollar: Um zu zeigen, dass eine Sprache L \in \mathcal{NP} auch \mathcal{NP}-vollständig ist, reduieren wir 3-SAT polynomiell auf L (dh wir zeigen 3-SAT \leq_p L).