Theoretische Grundlagen der Informatik – 11. Tutorium¶

• Tutorium 7
• Moritz Klammler
• Wintersemester 2014/15
• 20. Januar 2015

Tagesthemen¶

• Syntaxbäume
• Chomsky-Normalform für kontextfreie Grammatiken
• Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus

Syntaxbäume¶

Gegeben eine Grammatik G = (T, V, S, P) und ein Wort w\in{}T^* sodass S \Rightarrow^* w, also w \in L(G).

Ein Syntax- oder Ableitungsbaum für w ist ein Baum, dessen

• Wurzel S ist,
• Blätter Terminale aus T sind, sodass eine Tiefensuche, auf der man die Blätter einsammelt, genau w ergiebt,
• innere Knoten Nichtterminale aus V sind und
• ein Knoten v nur dann die Kinder u_1, \dots, u_n (für ein n \in \mathbb{N}) hat, wenn (v, u_1 \cdots u_n) \in P.

Syntaxbäume¶

• Zu jeder Ableitung gehört genau ein Syntaxbaum.
• Zu jedem Syntaxbaum gehört genau ein Wort.

Die Umkehrung der beiden Aussagen gilt in der Regel nicht.

• Eine Grammatik G heißt eindeutig, wenn es für jedes Wort w \in L(G) genau einen Syntaxbaum gibt.
• Eine Sprache L heißt eindeutig wenn es eine eindeutige Grammatik G gibt, sodass L(G) = L.
• Eine Sprache, die nicht eindeutig ist, heißt inhärent mehrdeutig.

Dangling Else¶

Zwei Interpretationen desselben C-Programms. (Einrückung hat keine syntaktische Relevanz.)

1. Interpretation¶

void
go_for_it(bool like_cookies_p, bool have_money_p)
{
  if (like_cookies_p)
    if (have_money_p)
      buy_cookies();
    else
      steal_cookies();
}

2. Interpretation¶

void
go_for_it(bool like_cookies_p, bool have_money_p)
{
  if (like_cookies_p)
    if (have_money_p)
      buy_cookies();
  else
    steal_cookies();
}

Chomsky-Normalform¶

Sei G = (T, V, S, P) eine kontextfreie Grammatik. G ist in Chomsky-Normalform (CNF) genau dann wenn für alle (\alpha, \beta) \in P gilt, dass

• \alpha \in V und
  • \beta \in V^2 \cup T oder
  • \alpha = S und \beta = \epsilon.

Für jede kontextfreie Grammatik G_1 = (T, V_1, S_1, P_1) existiert eine kontextfreie Grammatik G_2 = (T, V_2, S_2, P_2) in Chomsky-Normalform, sodass L(G_1) = L(G_2).

Kontextfreie Grammatik in CNF überführen¶

1. Falls (S, \epsilon) \in P: Neues Startsymbol S' einführen und neue Produktion S' \to S | \epsilon hinzunehmen.

2. Terminale a in nicht-terminierenden rechten Seiten durch neue Nichtterminale X_a ersetzen und neue Produktionen X_a \to a hinzunehmen.

3. Wiederholen bis nicht mehr anwendbar: A \to BCD ersetzen durch A \to Y_{BC}D und neue Produktion Y_{BC} \to BC hinzunehmen.

4. \epsilon-Produktionen A \to \epsilon (für A \neq S) streichen und für L \to AR neue Produktion L\to{}R hinzunehmen.

5. Kettenregeln A \to B streichen und für B \to w neue Produktion A \to w hinzunehmen.

Cocke-Younger-Kasami-Algorithmus¶

;; Eingabe:  Grammatik G = (T, V, S, P) in CNF und Wort w \in T^* mit |w| = n
;; Ausgabe:  Aussage ob w \in L(G)

FOR i := 1, ..., n DO
    table[i][1] := \emptyset
    FOREACH (l, r) \in P DO  ;; terminierende Produktion
        IF r = w[i] THEN
            table[i][1] := table[i][1] \cup { l }
        FI
    DONE
DONE
FOR j := 2, ..., n DO
    FOR i := 1, ..., n - j DO
        table[i][j] := \emptyset
        FOR k := 1, ..., j DO
            FOREACH (l, (r_1, r_2)) \in P DO  ;; nicht-terminierende Produktionen
                IF r_1 \in table[i][k] \land r_2 \in table[i + k][j - k] THEN
                    table[i][j] := table[i][j] \cup { l }
                FI
            DONE
        DONE
    DONE
DONE
RETURN S \in table[1][n]