Theoretische Grundlagen der Informatik – 12. Tutorium¶

• Tutorium 7
• Moritz Klammler
• Wintersemester 2014/15
• 27. Januar 2015

Organisatorisches¶

Bitte meldet Euch zur Klausur an.

Tagesthemen¶

• Kellerautomaten
  aka Stack-Maschinen, aka Push-Down-Automata (PDAs), aka …
• Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen
• Ogdens Lemma
• Greibach-Normalform für kontextfreie Grammatiken
• Ein paar schöne Beispiele

Kellerautomaten¶

Ein Kellerautomat ist ein 7-Tupel \mathcal{K} = (Q, \Sigma, \Gamma, q_0, \$, \delta, F) mit

• einer endlichen Zustandsmenge Q,
• einem Eingabealphabet \Sigma,
• einem Kelleralphabet \Gamma,
• einem Startzustand q_0 \in Q,
• einem Symbol \$ \in \Gamma, das anfänglich auf dem Stack liegt,
• einer Zustandsübergangsrelation \delta \subseteq ( Q \times (\Sigma \cup \{ \epsilon \}) \times \Gamma \cup \{ \epsilon \} ) ) \times ( Q \times \Gamma^* ) und
• einer (auch leeren) Menge von akzeptierenden Zuständen F \subseteq Q.

Kellerautomaten¶

Ein Kellerautomat \mathcal{K} = (Q, \Sigma, \Gamma, q_0, \$, \delta, F) akzeptiert die Sprachen

• L_F(\mathcal{K}) \subseteq \Sigma^* aller Wörter w \in \Sigma^* für die ein Berechnungspfad in \mathcal{K} existiert, an dessen Ende sich \mathcal{K} in einem akzeptierenden Zustand befindet bzw
• L_\epsilon(\mathcal{K}) \subseteq \Sigma^* aller Wörter w \in \Sigma^* für die ein Berechnungspfad in \mathcal{K} existiert, an dessen Ende \mathcal{K} in einer Konfiguration mit leerem Stack ist.

Im Allgemeinen ist L_Q(\mathcal{K}) \neq L_\epsilon(\mathcal{K}).

Kellerautomaten¶

Die Menge der von (nichtdeterministischen) Kellerautomaten akzeptierten Sprachen ist genau die Menge der kontextfreien Sprachen.

Die Menge der von deterministischen Kellerautomaten akzeptierten Sprachen ist eine echte Teilmenge der kontextfreien Sprachen.

Pumping-Lemma für reguläre Sprachen (Wiederholung)¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^* eine reguläre Sprache.

Dann existiert ein p \in \mathbb{N} sodass für alle w \in L mit |w| \geq p gilt:

Es existieren u, x, y \in \Sigma^*, sodass

1. w = xuy,
2. |u| \geq 1,
3. |xu| \leq p und
4. \forall i\in \mathbb{N}_0: xu^iy \in L.

Pumping-Lemma für kontextfreie Sprachen¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^* eine kontextfreie Sprache.

Dann existiert ein p \in \mathbb{N} sodass für alle w \in L mit |w| \geq p gilt:

Es existieren u, v, x, y, z \in \Sigma^*, sodass

1. w = xuyvz,
2. |uv| \geq 1,
3. |uyv| \leq p und
4. \forall i \in \mathbb{N}_0: xu^iyv^iz \in L.

Ogdens-Lemma für kontextfreie Sprachen¶

Sei \Sigma ein Alphabet und L \subseteq \Sigma^* eine kontextfreie Sprache.

Dann existiert ein p \in \mathbb{N} sodass für alle w \in L mit |w| = n \geq p gilt:

Für alle Arten, k \geq p Zeichen in w zu markieren, existieren u, v, x, y, z \in \Sigma^*, sodass

1. w = xuyvz,
2. uv enthält mindestens 1 markiertes Zeichen,
3. uyv enthält höchstens p markierte Zeichen und
4. \forall i \in \mathbb{N}_0: xu^iyv^iz \in L.

Das „normale“ Pumping-Lemma ergibt sich für den Spezialfall k = n.

Chomsky-Normalform (Wiederholung)¶

Sei G = (T, V, S, P) eine kontextfreie Grammatik. G ist in Chomsky-Normalform (CNF) genau dann wenn für alle (\alpha, \beta) \in P gilt, dass

• \alpha \in V und
• \beta \in V^2 \cup T.

Außerdem ist „manchmal“ der Spezialfall \alpha = S und \beta = \epsilon erlaubt, wenn S nie auf der rechten Seite einer Produktion steht.

Für jede kontextfreie Grammatik G_1 = (T, V_1, S_1, P_1) (mit \epsilon \not\in L(G_1)) existiert eine kontextfreie Grammatik G_2 = (T, V_2, S_2, P_2) in Chomsky-Normalform, sodass L(G_1) = L(G_2).

Greibach-Normalform¶

Sei G = (T, V, S, P) eine kontextfreie Grammatik. G ist in Greibach-Normalform (GNF) genau dann wenn für alle (\alpha, \beta) \in P gilt, dass

• \alpha \in V und
• \beta \in TV^*.

Außerdem ist „manchmal“ der Spezialfall \alpha = S und \beta = \epsilon erlaubt, wenn S nie auf der rechten Seite einer Produktion steht.

Für jede kontextfreie Grammatik G_1 = (T, V_1, S_1, P_1) mit \epsilon \not\in L(G_1) existiert eine kontextfreie Grammatik G_2 = (T, V_2, S_2, P_2) in Greibach-Normalform, sodass L(G_1) = L(G_2).