Theoretische Grundlagen der Informatik – 13. Tutorium¶

Tutorium 7
Moritz Klammler
Wintersemester 2014/15
03. Februar 2015

Anmerkungen zum 6. Übungsblatt¶

Macht „Unit-Tests“ für Eure Grammatiken.
Schaut Euch noch einmal die Konstruktion einer regulären Grammatik aus einem endlichen Automaten an.
Schaut Euch vielleicht noch einmal die „formale“ Methode aus der Vorlesung an, um eine kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform zu überführen.

Tagesthemen¶

Zusammenfassung Grammatiken & Chomsky-Hirarchie
Nutzlose Variablen
Greibach-Normalform

Zusammenfassung Sprachen, Maschinen, Grammatiken & Chomsky-Hirarchie¶

Sprachklasse	Grammatik	Maschine	Wortproblem	Abgeschlossenheit
Sprachklasse	Grammatik	Maschine	Wortproblem	L_1 \cap L_2	L_1 \cup L_2	L_1 \cdot L_2	L^*	L^R	L^c
regulär	Chomsky-Typ 3	endlicher Automat	linear	ja	ja	ja	ja	ja	ja
kontextfrei	Chomsky-Typ 2	Kellerautomat	polynomiell	nein	ja	ja	ja	ja	nein
kontextsensitiv	Chomsky-Typ 1	linear beschränkte Turingmaschine	PSPACE-vollständig	ja	ja	ja	ja	ja	ja
entscheidbar	(kein Analogon)	Entscheider (Turingmaschine, die auf jeder Eingabe hält)	entscheidbar	ja	ja	ja	ja	ja	ja
semi-entscheidbar	Chomsky-Typ 0	Akzeptor (Turingmaschine, die nicht notwendigerweise hält, wenn sie nicht akzeptiert)	semi-entscheidbar	ja	ja	ja	ja	ja	nein

Nutzlose Variablen¶

Sei G =( T, V, S, P) eine kontextfreie Grammatik. Eine Variable A \in V heißt nutzlos, wenn es für kein w \in T^* eine Ableitungsfolge S \to^* \alpha A \beta \to^* w gibt, in der A vorkommt.

Es gilt L(G) = \emptyset genau dann wenn S nutzlos ist.

ROUTINE EliminateUselessVariables1
INPUT
    G = (T, V, S, P)  ;; kontextfreie Grammatik
OUTPUT
    V_1  ;; sodass V_1 = \{ A \in V: \exists w \in T^*: A \to^* w \}
    P_1
BEGIN
    P_1 \gets P
    V_1 \gets \{ A \in V: \exists w \in T^*: (A, w) \in P_1 \}
    Q \gets V_1
    WHILE Q \neq \emptyset DO
        FOREACH A \in Q DO
            Q \gets Q \setminus \{ A \}
            FOREACH (B, \alpha_1 A \alpha_2) \in P_1 DO
                \tilde{P} \gets \{ (B, \alpha_1 w \alpha_2): \exists w \in T^*: (A, w)\in P_1 \}
                P_1 \gets P_1 \cup \tilde{P} \setminus \{ (B, \alpha_1 A \alpha_2) \}
                IF \tilde{P} \neq \emptyset AND \alpha_1, \alpha_2 \in T^* AND B \not\in V_1 THEN
                    V_1 \gets V_1 \cup \{ B \}
                    Q \gets Q \cup \{ B \}
                FI
            DONE
        DONE
    DONE
END

ROUTINE EliminateUselessVariables2
INPUT
    G_1 = (T, V_1, S, P_1)  ;; kontextfreie Grammatik mit einigermaßen nützlichen Variablen V_1
OUTPUT
    V_2  ;; sodass V_2 = \{ A \in V_1: \exists \alpha_1, \alpha_2 \in (V_1 \cup T)^*: S \to^* \alpha_1 A \alpha_2 \}
BEGIN
    V_2 \gets \{ S \}
    DO
        change \gets 0
        FOREACH A \in V_2 DO
            FOREACH (A, \alpha_1 B \alpha_2) \in P_1 DO
                IF B \not\in V_2 THEN
                    V_2 \gets V_2 \cup \{ B \}
                    change \gets change + 1
                FI
            DONE
        DONE
    WHILE change > 0 DONE
END

ROUTINE EliminateUselessVariables
INPUT
    G = (T, V, S, P)  ;; kontextfreie Grammatik
OUTPUT
    G' = (T, V', S, P')  ;; kontextfreie Grammatik ohne nutzlose Variablen außer S
BEGIN
    CALL EliminateUselessVariables1(G, V_1, P_1);
    IF S \not\in V_1 THEN
        V' \gets \{ S \}
        P' \gets \emptyset
    ELSE
        G_1 \gets (T, V_1, S, P_1)
        CALL EliminateUselessVariables2(G_1, V_2);
        V' \gets V_2
        P' \gets \{ (A, \alpha) \in P: A \in V_2 \land \alpha \neq A \}
    FI
    G' \gets (T, V', S, P')
END

Greibach-Normalform¶

Sei G = (T, V, S, P) eine kontextfreie Grammatik. G ist in Greibach-Normalform (GNF) genau dann wenn für alle (\alpha, \beta) \in P gilt, dass

\alpha \in V und
\beta \in TV^*.

Außerdem ist „manchmal“ der Spezialfall \alpha = S und \beta = \epsilon erlaubt, wenn S nie auf der rechten Seite einer Produktion steht.

Für jede kontextfreie Grammatik G_1 = (T, V_1, S_1, P_1) mit \epsilon \not\in L(G_1) existiert eine kontextfreie Grammatik G_2 = (T, V_2, S_2, P_2) in Greibach-Normalform, sodass L(G_1) = L(G_2).

Greibach-Normalform¶

Um eine kontextfreie Grammatik ohne nutzlose Variablen in eine äquivalente Grammatik in Greibach-Normalform zu überführen, wechseln sich folgende Schritte ab, bis sich die Grammatik nicht mehr verändert:

Wenn auf der rechten Seite einer Produktion ein Terminal a vorkommt, das nicht das erste Zeichen ist, ersetze es durch ein neues Nichtterminal X_a und füge die Produktion X_a \to a hinzu.
Streiche Produktionen A \to B \gamma, deren rechte Seite mit einem Nichtterminal B \neq A beginnt, und nimm dafür A \to \beta_1 \gamma | … | \beta_n \gamma für alle Produktionen B \to \beta_1 | … | \beta_n hinzu.
Streiche für jedes Nichtterminal A alle Produktionen A \to A \gamma_1 | … | A \gamma_n zugunsten von A \to \alpha_1 Y_\gamma | … | \alpha_m Y_\gamma für alle Produktionen A \to \alpha_1 | … | \alpha_m wo die \alpha_j nicht mit A beginnen, und einem neuen Nichtterminal Y_\gamma. Nimm schließlich Y_\gamma \to \gamma_1 | … | \gamma_n und Y_\gamma \to \gamma_1 Y_\gamma | … | \gamma_n Y_\gamma hinzu.